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数学是一门演绵科学，它研究现实世界中的数量关系和空间形式。虽然一百多年前恩格斯曾将数学定义为“研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学”，但随着时间的推移，数学的研究对象已远远超出了“数”与“形”的范畴。然而，恩格斯的定义仍然是较为合理的概括，因为数学的基本对象始终与现实世界紧密相连。

伽利略曾说：“大自然，这部伟大的书，是用数学语言写成的。”自然界中的一切事物都有“数”与“形”两个侧面。因此，数学为物理学、力学、天文学、化学、生物学等科学提供了描述规律的语言和探索未知世界的工具。科学发展的历史充分证明了这一点。例如，牛顿力学的发现依赖于微积分的创立，而爱因斯坦的相对论则以黎曼几何为基础。黎曼曾指出：“只有在微积分创立之后，物理才发展成为一门真正意义上的科学。”

数学的研究对象的抽象性决定了其应用的广泛性。1+1=2不仅适用于苹果、羊、山，也适用于一切事物。函数y=Asinωx可以代表电场的电流变化规律，也可以表示某种波动的规律。许多完全不同的事物提出的问题可以归结为同一个数学模型。

数学的演绎性是其最重要的特征。在生物学中，断言麻雀有胃只需解剖几个麻雀就足够了，而在数学中，要证明勾股定理不能只凭验证几个直角三角形，而需要严格的逻辑推理。数学的这种精神早在2500多年前就被古希腊人确定下来，这是数学的基本精神沿承至今。

欧几里得《几何原本》是人类有史以来的第一本完整的逻辑体系，其完美、严密和精巧令人赞叹不已。爱因斯坦曾说：“在逻辑推理上的这种令人惊叹的胜利，使得人类为他们的未来成就获得了必要的信心。”《几何原本》在欧洲使用了一千年以上，其版本之多发行量之大，继续之久，仅次于《圣经》。

数学教育的价值主要体现在三个方面：传授初等数学知识、进行逻辑推理训练、培育科学精神。初等代数、欧几里得几何、三角函数、解析几何等内容为学生提供基础知识。数学的训练能够培养学生的思考能力和推理能力，这对于一个人的能力发展具有重要意义。尤其是欧几里得几何，它是训练严谨科学精神的最好工具。

近年来，部分大一学生分不清定义与定理的区别，也不了解它们的重要性，这反映出数学教育中存在的问题。科学精神包含着怀疑，而怀疑正是思考的开始。马克思和笛卡儿都讲过这一点。科学知识应当具有一定的系统性，不能将代数与几何的知识打碎并混杂在一起讲，今天讲三条线八个角，明天讲合并同类项，后天讲坐标，这种做法是不当的。

数学的应用当然是重要的，但真正的实际问题往往是复杂的。将某类实际问题交给学生观察和实践，也需要谨慎权衡。数学是一门演绎科学，教学活动应当放在概念的准确理解和逻辑推理上。中学数学概念大多容易被学生接受，因此不需要设计特殊场景进行课堂演示，这样做既浪费时间又得不偿失。

正确的教学改革应当从实际出发，实事求是。衡量教学改革成败的唯一标准是实际教学效果，而不是“洋理念”或“新提法”。正确的改革应当具有继承性，不能轻易抛弃优良传统。教育的改革是一个长期的渐进过程，各国在教学方式和方法上都有不同的尝试和探索。长期工作在教学一线的有经验的教师应当得到充分尊重，他们的经验值得推广和借鉴。

数学在高科技时代的基础性更加凸显。电子计算机的发明归功于数学家图灵和冯·诺依曼。今天，IT技术已广泛应用于人类生活，但人们往往只看到技术成果，而看不到数学的重要性。医学上的CT技术、波音777的模拟设计、网络系统安全技术等背后，数学都扮演着重要角色。数学家占了诺贝尔经济学奖获得者的相当比例（21世纪初为17/27），这也反映出数学与经济学、管理学的深刻联系。

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